MongoDB data fungují ve spojení s java.util.Date. Změňte svůj dotaz na něco takového :
Date start = new java.util.Date(2012, 06, 20, 10, 05);
Date end = new java.util.Date(2012, 06, 20, 10, 30);
BasicDBObject query = new BasicDBObject("Date",
new BasicDBObject("$gt", start)).
append("$lte", end) ));