Facepalm!!!
Dokovací kontejnery komunikovaly v pořádku, problém byl v tom, že jsem Resque (aplikaci používající Redis) neřekl, kde to najde. Děkuji „The Real Bill“ za upozornění, že bych měl používat docker-cli.
Pro kohokoli jiného, kdo používá Docker a Resque, to potřebujete v config/initializers/resque.rb soubor:
Resque.redis = Redis.new(host: 'redis', port: 6379)
Resque.after_fork = Proc.new { ActiveRecord::Base.establish_connection }