Klauzule WHERE v příkazu INSERT pomocí mysql/php

To není INSERT. Toto je AKTUALIZACE . Příkazy INSERT vloží nové řádek. Příkazy UPDATE aktualizují existující řádek.

UPDATE issued_books
SET Book_4 = '$IssuedBookNumber'
WHERE Student_ID = '$Student_ID'

(Předpokládám, že jste správně escapovali $IssuedBookNumber a $Student_ID )