Spojte se s MySQL trikem se 3 tabulkami

Myslím, že vám chybí EXISTS doložka.

Následující dotaz vybere všechny kategorie, pro které existuje alespoň jeden řádek v průsečíkové tabulce.

SELECT category_name
FROM categories c
WHERE EXISTS (
    SELECT 1
    FROM assigned_cat ac
    WHERE ac.category_id = c.category_id
)