> není argument příkazu, je součástí syntaxe shellu. Protože nepoužíváte shell=True při volání subprocess.run() , nebude to fungovat.
Místo přesměrování shellu můžete použít stdout argument k subprocess.run() pro přesměrování do souboru.
args = ["mysqldump", f"-u{DBUser}", f"-h{DBHost}", f"-p{DBPass}", "--no-tablespaces", f'{DatabaseName}', f'{ArchiveTable}']
with open(BucketReadyName, 'w') as outfile:
subprocess.run(args, stdout=outfile)