Nemohu přijít na to, jak aktualizovat čas posledního přihlášení

Ve vašem dotazu zde:

UPDATE users_table SET 'date_last_inlog' = NOW() WHERE user_name  = '$user_name'

Zkuste odstranit uvozovky kolem date_last_inlog nebo je změnit na zpětné značky:

UPDATE users_table SET date_last_inlog = NOW() WHERE user_name  = '$user_name'

Také nepoužívejte mysql_* funkce, použijte mysqli nebo PDO namísto. Váš kód je zranitelný vůči SQL Injection.