Našel jsem řešení tohoto problému – ve skutečnosti to není řešení, ale jsem v IT, takže je to dost blízko.
Používal jsem Java 7u51.
Přešel jsem do ovládacího panelu -> Java -> Pokročilé
V části Advanced Security settings jsem vybral:
Use SSL 2.0 ClientHello format
Use SSL 3.0
Use TLS 1.0
(toto jsou typy připojení, které server akceptoval)
Také jsem přešel na kartu zabezpečení a přidal web do seznamu výjimek
Nakonec jsem přešel na kartu Java a klikl na Zobrazit. Poté jsem z nainstalovaných JRE zrušil výběr Java 1.7.0_51.
Není mi úplně jasné, jak/proč to všechno fungovalo, když odinstalování a zakázání jiných verzí Java nefungovalo. Ale jsem rád, že jsou stránky opět v provozu a fungují.
Doufám, že to v budoucnu pomůže někomu dalšímu.