BadImageFormat znamená, že dll není kompatibilní s runtime.
Problém je v tom, že Oracle dosud nevydal ovladač kompatibilní s .NET Core.
Stále můžete používat aktuálně dostupný ovladač v ASP.NET Core, ale pouze tehdy, když jej spustíte v plném desktopovém rozhraní .NET Framework, nikoli v rozhraní .NET Core Framework.
Chcete-li to vyřešit, měli byste být schopni jednoduše odstranit cíl dnxcore50 z vašeho souboru project.json, abyste cílili pouze na desktopový framework.
To znamená, že zatím můžete běžet pouze na Windows, ale později, až Oracle vydá kompatibilní ovladač, budete mít možnost zacílit na .NET Core framework.