Dotazy mongoexport vyžadují použití rozšířeného JSON MongoDB v přísném režimu. Více o této variantě rozšířeného JSON si můžete přečíst v článku Manuálu MongoDB na rozšířený JSON . Ve vašem konkrétním případě je správný způsob, jak napsat první dotaz v příkazu mongoexport,
mongoexport.exe -h *MYHOST* -p *MYPORT* -q "{ 'time' : { '$gte' : { '$date' : '2014-12-21 12:57:00.506Z' },'$lt' : { '$date' : '2014-12-21 12:59:00.506Z' } } }"