Mongo DB agregace s polem objektů

Můžete použít $elemMatch v pohodě, stačí zadat $and / $or na nejvyšší úrovni.

Váš první příklad by byl

db.products.find({
  $and: [
    { 
      specification: {
        $elemMatch: { key: 'Name', value: 'value 1' }
      }
    },
    {
      specification: {
        $elemMatch: { key: 'Category', value: { $in: ['value 1', 'value 2'] } }
      }
    },
    { 
      specification: {
        $elemMatch: { key: 'Department', value: 'value 3' }
      }
    }
  ]
})