Nebyl nalezen žádný vhodný ovladač pro 'jdbc:mysql://localhost:3306/mysql

V tomto konkrétním případě (za předpokladu, že Class#forName() nevyhodil výjimku; váš kód totiž pokračuje v běhu namísto vyhazování výjimka), tato SQLException znamená, že Driver#acceptsURL() vrátil false pro kterýkoli z načtených ovladačů.

Vaše adresa URL JDBC je skutečně chybná:

String url = "'jdbc:mysql://localhost:3306/mysql";

Odstraňte jedinou uvozovku:

String url = "jdbc:mysql://localhost:3306/mysql";

Viz také:

• Mini výukový program o připojení MySQL + JDBC