Snaží se získat majetek bez objektu

Podívejte se do manuálu pro mysql_fetch_object() . Vrací objekt, nikoli pole objektů.

Hádám, že něco takového chcete

$results = mysql_query("SELECT * FROM sidemenu WHERE `menu_id`='".$menu."' ORDER BY `id` ASC LIMIT 1", $con);

$sidemenus = array();
while ($sidemenu = mysql_fetch_object($results)) {
    $sidemenus[] = $sidemenu;
}

Mohl bych vám doporučit, abyste se podívali na PDO. PDOStatement::fetchAll(PDO::FETCH_OBJ) dělá to, co jste předpokládali mysql_fetch_object() udělat