Upozornění:mysql_num_rows() očekává, že parametr 1 bude zdrojem, zadaný booleovským způsobem

Je to proto, že mysql_query někdy vrací boolean false (chyba dotazu). Musíte to zkontrolovat:

$amn = mysql_query("SELECT * FROM `Messages` WHERE to_user='$usr' AND read='0'");

if($amn === false) {
    var_dump(mysql_error());
}
else {
    print_r(mysql_num_rows($amn));
}

Výše uvedený kód je napsán špatným stylem a je zastaralý. Používejte PDO s výjimkami ve skutečných projektech.