Volání Ajax vrátí celou stránku, nikoli pouze hodnotu echo

Ano! Musíte odstranit jakékoli HTML v souboru connect_db.php. Doporučuji uložit do tohoto souboru proměnnou a zkontrolovat, zda bylo připojení úspěšné. Například:

connect_db.php

$isConnected = false;
$dbError = "";
if ($dbc=mysqli_connect('localhost','*****','*****','ff') {
    $isConnected = true;
} else {
    $dbError = mysqli_connect_error();
}

jiné soubory

require("connect_db.php");

if($isConnected) {
    //DO ALL YO STUFF!!
} else {
    //HANDLE THE ERROR AS YOU LIKE, LIKE PRINTING IT OUT
    echo $dbError;
}

Pokud to uděláte, umožní vám to zvládnout logiku DB ve vašich souborech, pokud se nepodaří připojit, takže můžete bez problémů zvládnout neúspěšná připojení.