tabulka je uvedena dvakrát jako cíl pro INSERT i jako samostatný zdroj dat

MySQL dělá povolit použití stejné tabulky pro zdroj a cíl pro inserts . Stačí použít správnou syntaxi:

INSERT INTO data_waktu_vaksinasi (id_binatang, id_vaksin, tanggal_vaksin, status_vaksin) 
     SELECT 1, 1, DATE_ADD(max(tanggal_vaksin), INTERVAL 1 YEAR), 'belum'
     FROM data_waktu_vaksinasi;