Myslím, že chcete left join místo inner join protože chcete vrátit počet 0 místo chybějícího řádku, když neexistuje žádný odpovídající c záznam pro daný b záznam.
Také byste měli zahrnout group by při použití agregační funkce, jako je count .
SELECT
b.b_id,
COUNT(DISTINCT c.c_id) AS count
FROM
b
LEFT JOIN c
ON b.b_id=c.b_id
AND c.active='yes'
WHERE b.featured='no'
GROUP BY b.b_id