Jak mohu zkontrolovat, zda běží MySQL a Tomcat?

Nejjednodušší způsob by bylo prostě připojit server a zjistit, zda uspěje.

MySQL:

Connection connection = null;
try {
    connection = DriverManager.getConnection(url, username, password);
    // Succes!
} catch (SQLException e) {
    // Fail!
} finally {
    if (connection != null) try { connection.close(); } catch (SQLException ignore) {}
}

Kocour:

try {
    new URL(url).openConnection().connect();
    // Succes!
} catch (IOException e) {
    // Fail!
}

Pokud chcete trochu konkrétnější status, např. zkontrolujte, zda je k dispozici určitá tabulka DB nebo je k dispozici konkrétní zdroj webové aplikace, pak musíte spustit konkrétnější SELECT nebo HTTP požadavek.