Zvyšte mé ID v mé žádosti o vložení

ALTER TABLE Client CHANGE idClient
  idClient INT AUTO_INCREMENT PRIMARY KEY;

Poté při vkládání do tabulky vylučte automaticky se zvyšující sloupec primárního klíče z vkládání:

INSERT INTO Client (name, address, country)
  VALUES ('name', 'address', 'country')...;

Bude vygenerována nová hodnota idClient.

Toto je jediný způsob, jak to bezpečně provést, pokud existuje více instancí aplikace, která vkládá řádky najednou. Použití metody MAX(idClient), kterou popisujete, nebude fungovat, protože podléhá podmínkám závodu.