PDO zjevně nedokázalo nastavit aktivní databázi jako "projekt", a proto ji musíte pokaždé zadat.
Zkuste upravit svůj řádek, aby vypadal takto:
$dbh=new PDO("mysql:host=$dbHost;dbname=$dbName", $dbUser, $dbPassword);
Jediný rozdíl je v tom, že dbname se píše pouze malými písmeny místo vašeho dbName .
Případně po úspěšném navázání připojení spusťte tento příkaz SQL:USE project; , např.
$dbh->exec('USE project;');