Přišel jsem sem googlit, protože jsem měl stejný problém ve Windows.
V mém případě jsem k vyřešení problému musel nainstalovat PostgreSQL pro Windows 32 bitů, protože můj cíl Qt byl MinGW 32 bitů.
Navíc jsem musel přidat PATH do adresářů PostgreSQL bin a lib, aby Qt mohlo najít správné .dlls .
@SET PATH=C:\Program Files (x86)\PostgreSQL\9.6\bin\;C:\Program Files (x86)\PostgreSQL\9.6\lib\;%PATH%
PATH lze nastavit před spuštěním Qt Creator nebo pomocí samotného Qt Creatoru prostřednictvím Build Environment v Projects podokno.