V dotazu nemůžete svázat názvy sloupců:
$sql = "UPDATE users
SET `:dog_col`=:dog_path
WHERE `username`=:user_id_";
V tomto případě musíte použít proměnnou jako je tato:
$column = 'myColumn';
$sql = "UPDATE users
SET $column = :dog_path
WHERE username = :user_id_";