Jak naformátovat pouze ty záznamy, u kterých se nevyhodí ORA-01843?

Použijte CASE výraz, který kontroluje stav sloupce a pouze podmíněně se pokouší analyzovat jako platné datum:

SELECT
    MyColumn,
    CASE WHEN REGEXP_LIKE(MyColumn, '^\s*\d\d\d\d\d\d\s*$')
         THEN TO_CHAR(TO_DATE(TRIM(MyColumn), 'YYMMDD'), 'MM/DD/YYYY')
         ELSE MyColumn END AS new_col
FROM MyTable

Ale jako obecný komentář byste se měli vyhnout ukládání informací o datu v tabulkách jako text. Nyní vidíte jeden z důvodů, proč se tomu vyhnout.