Toto také není přesná odpověď, kterou hledáte, ale můžete jít docela blízko pomocí $in operátor:
db.i.find({
children : { $in : arr}
})
Mějte na paměti, že to nepovede k výše uvedenému výsledku (vypíše všechny hodnoty v poli a nikoli {_id:"1",children:["1.1"]}, ).
Ale můžete podle toho, co jsem navrhoval, a poté ve své aplikaci iterovat všechny výsledky a vydávat pouze průnik potomků s vaším polem.