Sám jsem dostal odpověď poté, co jsem se ručně pokusil připojit SQL Server Management Studio.
Tam to bere název serveru jako localhost. Není třeba uvádět název instance, připojuje se k výchozí instanci.
Toto fungovalo:
Invoke-Sqlcmd -InputFile 'D:\SQL Scripts\test.sql' -ServerInstance 'localhost' -Database 'Test'