Vlastně docela jednoduché:
SELECT *
FROM `table`
WHERE `column` LIKE '%{$needle}%'
% je zástupný znak pro jakoukoli sadu znaků (žádný, jeden nebo mnoho). Pamatujte, že to může být pomalé u velmi velkých datových sad, takže pokud se vaše databáze rozroste, budete muset používat fulltextové indexy.