$result =mysql_query()

Jak říká komentář, používáte zastaralé funkce, ale abyste odpověděli na svou otázku, měli byste deklarovat proměnnou, která bude uchovávat hodnotu, jakmile ji získáte z databáze, abyste ji mohli použít, kdykoli budete chtít.

<?php
$result = mysql_query("SELECT banner_headline FROM low_engagement WHERE thread_segment = 'a3'", $connection);
if(!$result) {
    die("Database query failed: " . mysql_error());
}

$bannerHeadline = "";

while ($row = mysql_fetch_array($result)) {
    $bannerHeadline = $row["banner_headline"];
}

echo $bannerHeadline; //use this wherever you want

?>