Unikáte z $ v proměnné provedením \$ .Zkuste:
$query = "SELECT * FROM `cats` WHERE name='$name'";
UPRAVIT
Z diskuse níže.
Problém s undefined index je skutečnost, že používáte $row['age'] ve skutečnosti je název sloupce v databázi Age . Proto musíte použít $row['Age'] při odkazu na položku. Totéž platí pro name .