Jak aktualizovat databázi při zaškrtnutí políčka s jquery?

Skoro to máš. stačí si přečíst stav zaškrtávacího políčka a odeslat jej zpět s požadavkem POST.

$(function(){
    $("#myonoffswitch").click(function(){
        var isOn = $("#myonoffswitch").prop("checked");
        $.post("notification.php", { 'onoffswitch': isOn }, function (result) {
            //handle success here
        });
    });