Ve vaší klauzuli where je něco divného.
Pokud otestujete:(A AND B) NEBO (A OR B)
A => a.establishment_name LIKE '".$search_value."'
B => a.location_id = '".$location_search_value."'
POKUD platí A, pak není nutné, aby bylo b pravdivé. A to vysvětluje, že váš třetí příklad nefunguje. Myslím, že byste měli otestovat svou hodnotu a vytvořit správnou klauzuli WHERE na základě vašeho vysvětlení.
if($search_value != "" && $location_search_value == "") {
$where = "a.establishment_name LIKE '".$search_value."'";
} else if ($search_value == "" && $location_search_value != "") {
$where = "a.location_id = '".$location_search_value."'";
} else {
$where = "(a.establishment_name LIKE '".$search_value."' AND a.location_id = '".$location_search_value."')";
}
$query = "SELECT a.*, b.location_name ".
"FROM establishment a ".
"JOIN location b ON a.location_id = b.location_id ".
"WHERE ".$where;