mysql_fetch_array() očekává, že parametr 1 bude zdrojem, zadaným řetězcem

Předáváte $query což je váš řetězec SQL , když potřebujete předat $result což je váš výsledný objekt db.

class DBQueries extends DBConn {
    function displayUsers(){
        $this->dbConnection();
        $query = "SELECT * FROM users";
        $result = mysql_query($query);
        while ($row = mysql_fetch_array($result)) {
            echo $row['password'];
        }
    }
}