Ukládání hodnot pole na celé číslo

42703 znamená undefined_column - to se stává, protože kolem "$2","$3" používáte dvojité uvozovky a dvojité uvozovky označují db objekty (v této části dotazu - sloupce). Odeberte je, aby byly:

db.query('INSERT INTO users(name,student_id) VALUES($1,ARRAY[$2,$3]::INTEGER[]) RETURNING *', [data.name, data.id])
.then(function(user) { })
.catch(function(err) {
    return callback(null, err);
})