Měli byste to považovat za pole, jako je toto,
<input name="checkbox[]" type="checkbox" value="<?php echo $row['link_id']; ?>">
Teprve potom můžete vzít jeho počet a opakovat jej pro smazání.
Do dotazu také musíte předat připojení k databázi.
$result = mysqli_query($dbc, $sql);
Váš to nezahrnul:
$result = mysqli_query($sql);