Měli byste použít mysql_result a získat první sloupec výsledku. Takhle:
$result = mysql_query("SELECT COUNT(user) FROM game_paths WHERE user='$user'");
$count = mysql_result($result, 0);
Sloupec můžete také pojmenovat takto:
$result = mysql_query("SELECT COUNT(user) AS total FROM game_paths WHERE user='$user'");
$data = mysql_fetch_assoc($result);
$count = $data['total'];
Což může být lepší, pokud budete vybírat několik sloupců současně, a také kvůli čitelnosti.